Selecteer een pagina

NG/NT 5

Hoofdstuk 2 Goniometrische fu[sub]n[/sub]cties

α 0 1/6 π 1/4 π 1/3 π 1/2 π
Sin α
0 0.5 ½ 2 ½ 3 1
Cos α
1 ½ 3 ½ 2 1/2 0
tan α
0 ⅓ 3 1 3 b.n.

Primitiveren
• f(x) = sin(ax+b) ==> F(x)=-(1/a) cos(ax+b) +c
• f(x) = cos(ax+b) ==> F(x)=(1/a) sin(ax+b) +c

Samengestelde Trillingen

• formules van Mollweide
Sin a + sin b = 2 sin ½ (a+b) cos ½ (a-b)
Sin a – sin b = 2 sin ½ (a-b) cos ½ (a+b)
Cos a + cos b = 2cos ½ (a+b) cos ½ (a-b)
Cos a – cos b = -2sin ½ (a+b) sin ½ (a-b)

Lissajous-figuren
• Een Lissajous-figuur is een kromme die wordt beschreven door een pu[sub]n[/sub]t dat gelijktijdig deelneemt aan twee harmonische trillingen langs verschillende lijnen.
• Zijn de lijnen de x-as en de y-as, dan hoort bij de samengestelde trilling de parametervoorstelling:
x= a + bsin c(t – d)
y= p + qsin r(t – s)

Snelheden bij krommen
• Bij een beweging die wordt gegeven door is de grootte van de snelheid gelijk aan v(t) = (x’(t))2 + (y’(t))2
• lengte L van de baan van een bewegend pu[sub]n[/sub] P(x,y) met x = x(t) en y = y(t) te berekenen:
• L = ∫v(t) dt

Bijzondere parameterkrommen
• Archimedische spiraal
x = at cos ct
y = at sin ct
• L = ∫v(t) dt met v(t) = √ (pt2 + q)
• Spiraal ook te schrijven in een poolvergelijking van de vorm r= c * θ
• Ruimtekrommen
x = 2 cos t
y = 2 sin t
z = (3/2π)t

NT 7

Rijen en formules.

Directe en recurrente formules

• In een recurrente formule is vastgelegd hoe een term van een rij uit één of meer voorafgaande termen wordt berekend. Daarbij moet je ook de startwaarde(n) geven.
• Bij een rekenku[sub]n[/sub]dige rij met beginterm u[sub]0[/sub] en verschil v hoort de
1. recurrente formule u[sub]n[/sub]+1 = u[sub]n[/sub] + v met beginterm u[sub]0[/sub]
2. directe formule u[sub]n[/sub] = u[sub]0[/sub] + v * n
• Bij een meetku[sub]n[/sub]dige rij met beginterm u[sub]0[/sub] en (groei)factor r hoort de
1. recurrente formule u[sub]n[/sub]+1 = r * u[sub]n[/sub]
2. directe formule u[sub]n[/sub] = u[sub]0[/sub] * r

Formules bij som- en verschilrijen

• Voor een rekenku[sub]n[/sub]dige rij met beginterm u[sub]0[/sub] is Sn = ½ (n + 1)*(u[sub]0[/sub] + u[sub]n[/sub]).
• Voor een rekenku[sub]n[/sub]dige rij met beginterm u[sub]1[/sub] is Sn = ½ n(u[sub]1[/sub] + u[sub]n[/sub])
• Voor een meetku[sub]n[/sub]dige rij u[sub]n[/sub] = u[sub]0[/sub] * rn is Sn = (u[sub]n[/sub]+1 – u[sub]0[/sub]) / (r – 1).
• De verschilrij van een kwadratische rij is een rekenku[sub]n[/sub]dige rij.
• De meetku[sub]n[/sub]dige rij u[sub]n[/sub] = u[sub]0[/sub] * rn is sommeerbaar voor –1 < r < 1. • De som is S = u[sub]0[/sub] / (1 - r) Grafieken van rijen. • Tijdgrafiek! • Bij een rij u[sub]n[/sub] met een recurrente formule van de vorm u[sub]n[/sub]+1 = f(u[sub]n[/sub]) zijn de pu[sub]n[/sub]ten (x,y) = (u[sub]n[/sub],u[sub]n[/sub]+1) pu[sub]n[/sub]ten van de grafiek van y = f(x). • Een webgrafiek van u[sub]n[/sub]+1 = f(u[sub]n[/sub]) is een diagram dat bestaat uit aaneengesloten verticale en horizontale lijnstukken waarvan de eindpu[sub]n[/sub]ten op de grafiek van y = f(x) en y = x liggen. • De webgrafiek begint in het pu[sub]n[/sub]t (u[sub]0[/sub], 0). Het eerste lijnstuk is het verticale lijnstuk met eindpu[sub]n[/sub]t op de grafiek van y = f(x). Monotone en alternerende rijen. • De rij u[sub]0[/sub], u[sub]1[/sub], u[sub]2[/sub], ... is monotoon dalend als u[sub]n[/sub]+1 < u[sub]n[/sub] voor n = 0,1,2,3, ... • De rij u[sub]0[/sub], u[sub]1[/sub], u[sub]2[/sub], ... is naar beneden begrensd als er een getal g bestaat zo, dat u[sub]n[/sub] ≥ g voor n = 0,1,2,3, ... • De rij u[sub]n[/sub] is alternerend als voor elke n geldt dat u[sub]n[/sub] * u[sub]n[/sub]+1 < 0. • De rij u[sub]0[/sub], u[sub]1[/sub], u[sub]2[/sub], ... is begrensd als er een positief getal M bestaat zo dat –M ≤ u[sub]n[/sub] ≤ M voor n = 0,1,2,3, ... • Voor de rij u[sub]n[/sub] die gegeven is door u[sub]n[/sub]+1 = a * u[sub]n[/sub] + b met beginwaarde u[sub]0[/sub] geldt |u[sub]n[/sub]-d| = |a|n * |u[sub]0[/sub]-d|. • Hierbij is d de oplossing van de vergelijking ax + b = x. Is |a| < 1 dan is de rij convergent en convergeert naar d.