Hoofdstuk 3: Meetkundige Plaatsen
Wiskunde B1,2 NT6
Conflictlijnen
De conflictlijn van twee gebieden G1 en G2 is de verzameling van alle punten P waarvoor geldt: d(P,G1)=d(P,G2).
De conflictlijn van twee punten A en B is de middelloodlijn van het lijnstuk AB.
A . . B
De conflictlijn van twee snijdende lijnen is het bissectricepaar van de lijnen.
De conflictlijn van twee evenwijdige lijnen is de middenparallel van de lijnen.
De conflictlijn van een punt F en een lijn l is de parabool met brandpunt F en richtlijn l.
Het conflictpunt P van een punt F en een lijn l is als volgt te construeren:
1. Teken een punt V op l.
F.
.V
2. Teken door V de loodlijn k op l.
k
F.
.
V
3. Teken de middelloodlijn m van het lijnstuk FV.
k
F. .
P
.
V
Het snijpunt van k en m is het conflictpunt P.
De conflictlijn van een punt F binnen de cirkel en een cirkel is een ellips met brandpunten M en F
Het construeren van een conflictpunt P van een cirkel en punt F gaat als volgt:
1. Teken een punt V op de cirkel.
2. Teken de lijn k door M en V.
3. Teken de middelloodlijn m van het lijnstuk FV.
4. Het snijpunt van k en m is het conflictpunt P.
k
.V
.F m
M
De gehele conflictlijn komt er zo uit te zien:
De conflictlijn van een punt F buiten de cirkel en een cirkel is een hyperbool.
De construeren van een conflictpunt P van een cirkel en punt F gaat als volgt:
1. Teken een punt V op de cirkel.
2. Teken de lijn k door M en V.
3. Teken de middelloodlijn m van het lijnstuk FV.
4. Het snijpunt van k en m is het conflictpunt P.
Complexe situaties moeten altijd herleid worden tot één van bovenstaande voorbeelden:
Punt, Lijn of Punt, Cirkel.
In het geval van twee cirkels moet altijd de kleinste straal worden afgetrokken of opgeteld worden bij de grootste straal. Een aantal voorbeelden:
r3 = r2 – r1
Op deze manier ontstaat de constructie Punt, Cirkel en een hyperbool.
r3 = r1 + r2
Op deze manier ontstaat de constructie Punt, Cirkel en een hyperbool.
Om het principe beter te doorzien een eenvoudig voorbeeld:
Raaklijnen en Spiegels
Alle lichtstralen die evenwijdig aan de as op een parabolische spiegel vallen worden teruggekaatst in de richting van het brandpunt van de parabool.
Een lichtstraal die vanuit een brandpunt op een elliptische spiegel valt, gaat na spiegeling door het andere brandpunt.
Een lichtstraal die vanuit een brandpunt op en bolle hyperbolische spiegel valt, lijkt na spiegeling uit het andere brandpunt te komen.